|
Большой интерес представляет вопрос о физическом смысле энтропии. Выдающаяся роль в этом принадлежит Л. Больцману, который установил, что между энтропией вещества в данном состоянии н термодинамической вероятностью этого состояния существует однозначная связь. Остановимся на этом несколько подробнее. Начать придется с краткого знакомства с понятиями математической вероятности и термодинамической вероятности состояния.
Математическая вероятность (илн математическое ожидание) — это отношение числа благоприятных случаев к числу равновозможных случаев. Поясним это на примере. Допустим, что « урне находится 20 шаров—-10 черных и 10 красных. Допустим также, что возможность вынуть нз урны любой из 20 находящихся в ней шаров одинакова. Это значит на языке теории вероятностей, что, вынимая из урны один шар, мы располагаем 20 равновозможными случаями. Спрашивается, какова математическая вероятность того, что из урны будет вынут красный шар?
Так как из 20 шаров, находящихся в урне, 10 шаров — красные и так как, вынув любой из красных шаров, мы выполняем исходное требование, то, очевидно, мы располагаем 10 равновозможными благоприятными случаями. Тогда согласно определению математическая вероятность того, что из урны будет вынут красный шар, равна:
WK= 10/20 = 0,5.
Следует отметить, что математическая вероятность всегда имеет значение правильной дроби, так как по смыслу число благоприятных случаев всегда меньше общего числа равновозможных случаев. Если число благоприятных случаев равно числу равновозможных, имеет место достоверность события, характеризуемая WK
Продолжим рассмотрение примера с шарами и урной. Допустим, что из 10 красных шаров 5 имеют полосу. Поставим теперь такой вопрос: какова математическая вероятность того, что из урны, имеющей 20 шаров, будет вынут красный шар с полосой?
К решению этого весьма несложного вопроса можно подойти по-разному. Можно, во-первых, сразу же определить число благоприятных случаев, а тем самым и искомую математическую вероятность. Очевидно, что число равновозможных случаев равно, как и раньше, общему числу шаров, находящихся в урне, т. е. 20, а число благоприятных случаев равно числу красных шаров с полосой, т. е. 5. Тогда вероятность выема нз урны красного шара с полосой
Wк.п = 5/20 = 0,25.
Но можно избрать и другой путь решения. Можно определить сначала вероятность выема из урны красного шара. Эта задача нами уже решена:
Wк = 10/20 = 0,5.
Затем нужно определить вероятность того, что вынутый из урны красный шар имеет полосу. При этом число равновозможных случаев равно числу красных шаров, т. е. 10, а число благоприятных случаев равно числу красных шаров с полосой, т.е. 5. Следовательно, математическая вероятность того, что вынутый красный шар окажется шаром с полосой, будет равна:
Wn = 5/10 = 0,5.
Если перемножить теперь математические вероятности WK и Wn, то можно получить искомую математическую вероятность WK,n:
Wn = Н7К В7П = 0,5-0,5 = 0,25.
Последний пример подтверждает общий закон теории вероятностей, согласно которой математическая вероятность сложного события (в нашем примере — вероятность выема из урны красного шара с полосой) равна произведению математических вероятностей простых событий (в нашем примере — это вероятность выема из урны красного шара и вероятность того, что вынутый из урны красный шар окажется одним из шаров, имеющих полосу), из которых складывается сложное событие.
С помощью теории вероятностей можно решать много интересных задач. В качестве примера рассмотрим такую задачу. Три стрелка А, В я С одновременно производят выстрел. Искусство стрелка А характеризуется в среднем четырьмя попаданиями из пяти выстрелов, искусство стрелка В — тремя попаданиями из четырех выстрелов и искусство стрелка С — двумя попаданиями нз трех выстрелов. Требуется определить, какова математическая вероятность того, что стрелки А и В попали в цель, а стрелок С промахнулся?
|
